Álgebra lineal Ejemplos

3 x - 2 y - z = 4

$3 x - 2 y - z = 4$

$x - y - 2 z = 0$

$4 x + 3 y + z = 2$

Paso 1

Escribe el sistema como una matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & - 1 & 4 \\ 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica cada elemento de

$R_{1}$ por

$\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en

$1, 1$ sea

$1$ .

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Paso 2.1.1

Multiplica cada elemento de

$R_{1}$ por

$\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en

$1, 1$ sea

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{4}{3} \\ 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

Paso 2.2

Realiza la operación de fila

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ para hacer que la entrada en

$2, 1$ sea

$0$ .

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Paso 2.2.1

Realiza la operación de fila

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ para hacer que la entrada en

$2, 1$ sea

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 1 - 1 & - 1 + \frac{2}{3} & - 2 + \frac{1}{3} & 0 - \frac{4}{3} \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

Paso 2.3

Realiza la operación de fila

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en

$3, 1$ sea

$0$ .

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Paso 2.3.1

Realiza la operación de fila

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en

$3, 1$ sea

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 (- \frac{2}{3}) & 1 - 4 (- \frac{1}{3}) & 2 - 4 (\frac{4}{3}) \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} \\ 0 & \frac{17}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{10}{3} \end{array}]$

Paso 2.4

Multiplica cada elemento de

$R_{2}$ por

$- 3$ para hacer que la entrada en

$2, 2$ sea

$1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica cada elemento de

$R_{2}$ por

$- 3$ para hacer que la entrada en

$2, 2$ sea

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ - 3 \cdot 0 & - 3 (- \frac{1}{3}) & - 3 (- \frac{5}{3}) & - 3 (- \frac{4}{3}) \\ 0 & \frac{17}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{10}{3} \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ 0 & \frac{17}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{10}{3} \end{array}]$

Paso 2.5

Realiza la operación de fila

$R_{3} = R_{3} - \frac{17}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en

$3, 2$ sea

$0$ .

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Paso 2.5.1

Realiza la operación de fila

$R_{3} = R_{3} - \frac{17}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en

$3, 2$ sea

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ 0 - \frac{17}{3} \cdot 0 & \frac{17}{3} - \frac{17}{3} \cdot 1 & \frac{7}{3} - \frac{17}{3} \cdot 5 & - \frac{10}{3} - \frac{17}{3} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.5.2

Simplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & - 26 & - 26 \end{array}]$

Paso 2.6

Multiplica cada elemento de

$R_{3}$ por

$- \frac{1}{26}$ para hacer que la entrada en

$3, 3$ sea

$1$ .

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Paso 2.6.1

Multiplica cada elemento de

$R_{3}$ por

$- \frac{1}{26}$ para hacer que la entrada en

$3, 3$ sea

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ - \frac{1}{26} \cdot 0 & - \frac{1}{26} \cdot 0 & - \frac{1}{26} \cdot - 26 & - \frac{1}{26} \cdot - 26 \end{array}]$

Paso 2.6.2

Simplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 2.7

Realiza la operación de fila

$R_{2} = R_{2} - 5 R_{3}$ para hacer que la entrada en

$2, 3$ sea

$0$ .

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Paso 2.7.1

Realiza la operación de fila

$R_{2} = R_{2} - 5 R_{3}$ para hacer que la entrada en

$2, 3$ sea

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 - 5 \cdot 0 & 1 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 4 - 5 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 2.7.2

Simplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 2.8

Realiza la operación de fila

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ para hacer que la entrada en

$1, 3$ sea

$0$ .

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Paso 2.8.1

Realiza la operación de fila

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ para hacer que la entrada en

$1, 3$ sea

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 2.8.2

Simplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 2.9

Realiza la operación de fila

$R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en

$1, 2$ sea

$0$ .

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Paso 2.9.1

Realiza la operación de fila

$R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en

$1, 2$ sea

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 2.9.2

Simplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

$x = 1$

$y = - 1$

$z = 1$

Paso 4

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(1, - 1, 1)$